《美国数学会会志》：“庞加莱”不再是猜想成共识
载《美国数学会会志》九月号(AMS Notices, September 2006, Volume 53 , Number 8)
原文见：http://www.ams.org/notices/200608/comm-perelman.pdf
以下是全文翻译，括号里是原有的注释或者是外文专有名称 (
不再是猜想了吗？ --- 对庞加莱与几何化猜想的证明正在形成一致意见
作者：艾琳·杰克逊（Allyn Jackson 注一）
庞加莱猜想和瑟斯顿(Thurston)几何化猜想被证明了吗？
自从格利高里·佩雷尔曼(Grigory Perelman)在互联网上发表了他的现已非常著名的文章以来，这个问题就萦绕在数学家们的脑海中已逾三年。2006年仲夏，马德里举行的国际数学家大会脚步声近，而关于菲尔兹奖的谈论也不绝于耳，一些在过去三年里发言谨慎的专家们看起来越来越有信心：猜想终于要屈服了。特别是，很多人相信庞加莱猜想如今已然是真正的定理。几何化猜想这件事还没有那么清楚，但许多人对于这个结果很快会被确认也表示乐观。
奖金与盛誉
对数学家来讲，克莱数学研究所（CMI）为庞加莱猜想的解决而提供的百万美元奖金不过是蛋糕上的糖衣。真正的奖励是解决一个在超过一世纪的时间内令数学家们为之颠倒的难题而带来的殊荣。这个命题上溯至1904年，亨利·庞加莱猜想：正是简单连通这一性质在拓扑上把三维球面和其他三维流形区分开来。自此，许多人企图证明庞加莱猜想都以失败告终，这中间包括了一些知名数学家，如Edwin Moise, Christos Papakyriakopolous, Valentin Poenaru, 和Colin Rourke。最近的一次不正确的证明是由南安普顿大学的马丁·邓武迪(Martin Dunwoody)在2002年提出的，比佩雷尔曼贴出他的第一篇论文早了六个月。关于邓武迪证明的新闻故事（2002年四月纽约时报的一篇文章题为“联合王国数学奇才也许解决了问题”）刚出现，几乎同时这个证明便瓦解了。
事实上，正因有太多关于庞加莱猜想的错误证明以至于加州伯克利大学的约翰·斯托林斯（John Stallings）在他的网页上发表了其在1966年写的文章“怎样不去证明庞加莱猜想”，那里讲述了他自己的失败尝试以告诫他人切勿重蹈覆辙。大部分失败的努力有一个共同的特征就是它们都依赖于拓扑推理。而哥伦比亚大学的约翰·摩根(John Morgan)注意到“看起来那种类型的论证对这个问题行不通。”反之，他说，要解决这个拓扑问题，人们需要拓扑学之外的，从几何到分析的工具。
与那些多次对庞加莱的失败尝试形成对照的是，在佩雷尔曼的工作问世以前，似乎没有人宣称可以解决整个瑟斯顿几何化猜想。事实上，这是一个比庞加莱猜想更为深远的命题，它包含了庞加莱猜想做为一个特例。现任康奈尔大学教授的威廉·瑟斯顿（William Thurston）于1970年首次提出的几何化猜想，提供了区分所有三维流形的方法。瑟斯顿的了不起的洞察力在于，他看到了如何利用几何来理解三维流形的拓扑。几何化猜想宣称任意三维流形可以一种本质唯一的方式分解成一些片，每一片都具有一种特别的几何结构，而总共有八种这样的几何结构。这个猜想在佩雷尔曼的工作之前并不是毫无进展；它在很多情形下已被确立了。瑟斯顿自己对于一大类流形证明了猜想。集多个数学家的贡献，在只涉及八种几何中的六种的情况，猜想被证明。剩余的两种是球面几何和双曲几何，其度量分别具有正的和负的常曲率。庞加莱猜想就在那个具有正常曲率的度量的情形里面。（参见[Milnor]，这是一个出色的历史陈述。）
在这样的背景下，当佩雷尔曼把他的文章贴到数学文献库里的时候，其中第一篇在2002年十月，第二篇在2003年三月，第三篇在2003年七月[Perelman1-3]，数学家们自然有所怀疑。但是，他的努力从一开始就被认真对待。一个原因是佩雷尔曼是颇受尊敬的数学家，他在几何分析上做出过杰出贡献。他是1994年苏黎世国际数学家大会的受邀演讲者，当时他在几何组做了关于曲率有下界的空间的报告。在1996年他作为十位得奖者之一获得了每四年一次的欧洲数学会颁发的杰出青年数学家奖（佩雷尔曼拒绝了接受此奖）。
另一个佩雷尔曼的工作被认真对待的原因是它正和一个广为人知的用瑞奇流（Ricci flow）来证明几何化猜想的纲领相符合。这个纲领的创始人是目前在哥伦比亚大学的理查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)，他将要在马德里的2006年国际数学家大会上成为大会演讲者之一。据汉密尔顿的演讲稿摘要， 瑞奇流是由他本人和哈佛大学的丘成桐发展起来的。在汉密尔顿的1982年的文章 [Hamilton] 中首次披露的这个思想，是利用瑞奇流这样一个热方程的非线性版本的偏微分方程，来同化三维流形的几何以证明它们确实符合瑟斯顿分的类。人们大抵相信，从原理上讲，汉密尔顿的方法应该奏效。这个信念随着汉密尔顿和其他人做出了许多必需的分析工作而增强了。但最困难的障碍是处理那些可能随瑞奇流演化出来的奇点。佩雷尔曼征服的正是这一障碍，他把深入而新颖的思想引入到几何分析中，产生了奇妙的效果。（关于瑞奇流的一个很好的记述见[Anderson]。）
注目佩雷尔曼
2003年春季，当他的前两篇论文出现在网上之后，佩雷尔曼在美国的包括哥伦比亚，麻省理工学院和普林斯顿在内的几所大学演说，并在石溪分校做了一次系列讲座。不久后他回到圣彼得堡的老家，自此他只做了这个话题上的很少几次演讲。他曾通过电子邮件回答数学问题，但是一些数学家报告说后来他甚至连那种交流方式也停止了。我们不清楚佩雷尔曼怎样看待伴随他的成就而来的欢呼。很多关于他的工作的文章出现在通俗媒体上，尽管他看来从不接受记者的采访。
当数学家们开始认真阅读这些论文时，他们却是举步维艰。“当人们意识到他用了相当少的篇幅却开辟了这么多的新天地，我们不得不承认佩雷尔曼的文章是极其精心写就的”，密执安大学的约翰·洛特（John Lott）解释说，“然而，文章的写法不能让人们可以坐下来轻易地决定他的论证是否完备。”摩根评论说佩雷尔曼省略了一些平常但是颇需技巧的技术细节。摩根还说，有时一些论证被指出与先前陈述过的论证相类似，但先前的论证具体如何也适用于此并不总是非常清楚。在这些困难之外，论文中还有些直接的错误，但都不是实质性的。看起来佩雷尔曼没有把他的论文投给期刊。如果他那样做了，它们大概要经过相当多的修改才会被接受。
佩雷尔曼的论文出现在网上不久之后，数学家们着手努力来理解和验证它们。在2003年六月，洛特和现在耶鲁大学的布鲁斯·克莱纳（Bruce Kleiner）建立了一个网页，在那里他们介绍随着细查论文而不断增加的关于佩雷尔曼工作的注释。2003年末，帕洛阿图的美国数学所和伯克利的数学科学研究所联合举办了针对佩雷尔曼第一篇论文的研讨会；另一个关于佩雷尔曼第二篇论文的研讨会于2004年夏在普林斯顿大学召开。克莱数学研究所显然很想知道佩雷尔曼的工作是否正确，它为普林斯顿研讨会提供了资金，另外它还资助了2005年夏在数学科学研究所（MSRI）举办的一个月的暑期学校。除此之外，克莱数学研究所给了克莱纳和洛特一些资助，他们正继续在网上公布他们的注记；同时也资助摩根和普林斯顿大学的田刚，他们正在合著一本关于佩雷尔曼解决庞加莱猜想的工作的书。
2005年六月，格勒诺布尔大学的杰拉尔德·贝松（Gérard Besson）做了一次关于佩雷尔曼工作的布尔巴基讲座，该讲义将于2006年九月在Astérisque系列里出版。2005年秋，中山大学的朱熹平在哈佛大学做了六个月的系列演讲，描述了他和里海大学的曹怀东合写的、发表于在2006年六月号的《亚洲数学月刊》的一篇文章的内容。还有其他关于这个课题的研讨会和暑期学校，更不必说各数学系和会议里的众多讲演。包括中、法、德、美在内的几个国家里都组成了阅读佩雷尔曼论文的学习组。
尽管佩雷尔曼的论文似乎没有以传统的方式被评审，自出现在互联网上起的三年半时间里它们经受了惊人的详尽检验。至少对众多非专家来说，随着时光流逝而没有任何人发现他的工作中有要紧错误这个简单事实，已使人深信他的工作必定是正确的。例如，东北大学的藤原耕二并非这领域的专家，但他有两个理由相信佩雷尔曼的工作是对的。“假如有任何原理上的问题使该方法不能生效，经过这三年那原理问题一定已被人找到了，”他推断说。第二，藤原说，佩雷尔曼是广为人知的瑞奇流方面的专家，他从前的论文都是可靠的，没有被发现过含有错误。当然，这类自信是非专家的特权。专家还要更加努力。
填补证明细节
“他们应该为解决庞加莱猜想而授予[佩雷尔曼]菲尔兹奖”， 约翰·摩根(John Morgan)在2006年5月的访谈中声称。“我相信他的逻辑是正确的，我认为凡是认真读了他的证明的人也都那么想。。。。这很显然是过去四年里数学世界发生的最振奋人心的事”，上一次颁发菲尔兹奖是在四年前。摩根说，由他和田刚合著将在2007年初出版的书，会提供一个对佩雷尔曼的庞加莱猜想证明的详尽阐释。（注二）摩根说他绝不怀疑佩雷尔曼也可以证明几何化猜想，但是摩根并没有象他研究关于庞加莱猜想的工作一样亲自仔细检查那一部分（佩雷尔曼的关于几何化猜想的）证明。
事实上，相对几何化猜想的证明，很多数学家都对庞加莱猜想的证明更有信心。佩雷尔曼自己提供了证明庞加莱的捷径，而他的更大分量的工作是为整个几何化猜想的证明提供了必要工具。某些人认为保证庞加莱猜想已被证明的最好途径是确认几何化猜想的证明。那么几何化猜想的证明现况如何呢？
2006年5月，克莱纳与罗特在数学文献库里张贴了题为“佩雷尔曼论文注记 （Notes on Perelman’s papers）”的论文。他们说他们的论文，再加上2005年塩谷隆（T. Shioya）和山口孝男（T. Yamaguchi）的文章, 为佩雷尔曼几何化猜想的证明提供了细节。罗特警告说佩雷尔曼的工作在成为一致接受的结论之前还应由数学界进一步检验。克莱纳－罗特的工作是建立在他们从2003年夏季起即开始在网上公布的一系列注记的基础之上的。在克莱纳－罗特增进并公布这些注记的三年时间里，他们得到了很多数学家的纠误或评注。他们计划把他们的文章投到学术杂志上去。
2006年4月末，《亚洲数学杂志》在它的网页上宣布将要发表曹怀东和朱熹平的论文“庞加莱与几何化猜想的一个完全证明——汉密尔顿－佩雷尔曼的Ricci流理论的应用（A complete proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures—Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow）”。这个宣告包括了文章的摘要，其全部内容如下：“在本文中，我们给出庞加莱与几何化猜想的一个完全证明。这个工作是建立在过去三十年里众多几何分析学家不断积累的贡献基础之上的。这个证明应被看作关于汉密尔顿－佩雷尔曼的Ricci流理论的最高成就。”这篇330页的文章发表在《亚洲数学杂志》的2006年六月号。这一期的杂志并没有在网站上公布电子版，而只是印刷出来。曹－朱的文章也没有以预印本的形式流通，不过这项工作由朱熹平于2005－06年度在哈佛的讨论班上介绍过。
一些人注意到从曹－朱递交论文，即2005年12月12日，到论文被接受发表之日，即2006年4月16日，其时间间隔之短暂，于是怀疑这样一份超过300页的重要论文是否经过严肃的审查。在2006年五月的访谈里，丘成桐，也即《亚洲数学月刊》的主编之一，说这份草稿已在手边一年了，只是“我们很谨慎没有将之广为传播，这是为了保证付印之前一切完好。”当被问及该文是否象通常那样被审查，丘成桐说是的，且称《亚洲数学月刊》有很高的水准。
尽管尚没有足够的时间让曹朱的论文被数学界仔细推敲，这篇文章由于中国媒体在2006年六月的宣传已广为人知。“中国数学家破解世界难题”，新华通讯社2006年6月3日的一篇文章标题如此报导。文章首句说，“令全球科学家困扰上百年的难题已被两位中国数学家最终解决。”曹怀东将媒体对他与朱熹平工作的高度关注称之为“铺天盖地”。一些新闻文章被翻译成英文放在网上。在那些文章里，曹朱这两位中国数学家的成就得到强调，而佩雷尔曼的功绩则以不够显著的方式被提及。新华通讯社2006年6月21日发的一篇文稿里，佩雷尔曼的名字甚至根本没有出现。媒体报道是从丘成桐于2006年6月3日在北京召开新闻发布会开始的，当时丘宣布了曹朱的工作。丘成桐说他被某些媒体错误的引用了，故对那些话不负责任。在2006年6月30日，他在北京的中国科学院晨兴数学中心做了有关这个话题的公众讲演，讲稿的幻灯片可见中心的网站：http://www.mcm.ac.cn/Active/yau_new.pdf。
分配奖金
众多竞争对手，谁会获得证明这些不朽成果的荣誉？这不是一个简单的问题。在数学里往往一个成果的荣誉归功于发现了决定性思想从而使证明成功的人，即使那个人不曾写下完整的证明。作为历史上的一个例子，加州伯克利大学的罗宾·科比（Robin Kirby）谈到了瑟斯顿的轨形定理(orbifold theorem)。瑟斯顿发表在《美国数学会通讯》上的论文[Thurston]以一种据科比说是“绝对简略”的方式描述了这一结果。轨形定理包含了当存在一个作用在有不动点的三维流形上的离散群时的几何化猜想，这涵盖了很多情形，尽管不包括庞加莱猜想。超过十二年过去了仍无完整的证明，科比于是把轨形定理加到他的著名拓扑难题的单子上，并宣布这是一个未决问题。不同的两组数学家分别独立做出了定理的完整证明（一组由Daryl Cooper, Craig Hodgson及Steven Kerckhoff组成,另一组是Michel Boileau, Bernhard Leeb和 Joan Porti）。“他们做了很多工作，瑟斯顿略述的一些内容被增强了，业内尊敬他们的工作，”科比说。“但是人们仍认为这是瑟斯顿的定理。”
数学世界期待着看佩雷尔曼是否会因为他的工作得到菲尔兹奖。菲尔兹奖委员会的传统规定是获奖者在得奖之年不能超过40岁。佩雷尔曼在2006年六月刚好40岁。一些人认为，即使抛开庞加莱和几何化猜想不论，佩雷尔曼也已做了足够的工作使他能得菲尔兹奖。“佩雷尔曼的工作所讨论的瑞奇流里的奇点演化是一个巨大的进展，仅这一贡献已使他成为菲尔兹奖的一个有分量的候选人”，摩根说。
庞家莱猜想是克莱数学研究所在2000年公布的七个千年大奖问题之一。在佩雷尔曼的工作之前，还没有人对其中任何一个问题提出可信的解决方案，所以奖金没有颁发过。大奖的规定说任何提出的解决方案必须在“具有世界声誉的同行审议的学术期刊”上发表，并且这个发表的解法必须经受两年的考验克莱数学研究所才会考虑颁奖。从规定的讲法来看，所考虑的得奖人并不必须就是发表解法的作者，克莱数学研究所所长吉姆·卡尔森（James Carlson）评论说。就他得奖这件事而言，“佩雷尔曼遵循了一条非正统的道路，张贴（他的论文）在网上而不是把它们投到期刊去这点本身并不是障碍”，卡尔森说。在适当的时间，他说，克莱研究所会考虑所有能得到的材料从而对庞家莱猜想的证明正确与否做出判断。只有在那之后才会考虑颁奖。克莱研究所面临的问题是，到底是把奖金全部授予佩雷尔曼一个人呢还是包括其他人作为共同的获奖者—---也许汉密尔顿? 卡尔森说现在考虑那些可能性还为时过早。
但是毫无疑问数学界将继续思索和讨论佩雷尔曼工作的不同寻常的传奇。有一件事很清楚：佩雷尔曼在这个领域做出了巨大贡献。他做的很多事情，如不向杂志投稿，不做很多演讲，彻底规避聚光灯，都不易被人理解。“佩雷尔曼是个特别天才而非凡的人，他选择了那样的方式”，卡尔森评论说。“我想最重要的一点是他写了那三篇论文并把它们贴在了数学文献库里，而那是送给数学家们的了不起的礼物，有大量的新思想和新东西需要我们去思考。”
参考文献
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[Kleiner-Lott] BRUCE KLEINER and JOHN LOTT, Notes on Perelman’s papers, arXiv:math.DG/0605667, 25 May 2006.
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[Perelman3] ———, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds,
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[Shioya-Yamaguchi] T. SHIOYA and T. YAMAGUCHI, Volume-collapsed three-manifolds with a lower curvature bound, Math. Ann. 333 (2005), 131–55.
[Thurston] WILLIAM P. THURSTON, Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 6 (1982), 357–81.
注一：艾琳·杰克逊是美国数学会会志的资深作家，代编辑。她的电子邮箱地址是：axj@ams.org。
注二：2006年7月25日，摩根和田刚在“数学文献库”（arXiv）上载了一篇473页的关于Ricci流和庞加莱猜想的手稿，见http://arXiv.org/abs/math/0607607
（译者：许冲 邵振青） 博讯首发
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